Relationen zwischen zwei Mengen: Abbildungen

Einleitung 

Aus einem Schulbuch des 1. Schuljahres  

Als die Menschen noch keine Zahlen kannten, nahm ein Hirte ein Stück Holz, wenn er seine Schafe zählen wollte. Für jedes Schaf schnitt er eine Kerbe ein.

 
 

Indem der Hirte für jedes Schaf eine Kerbe in das Holz schneidet, setzt er (ganz intuitiv) die Schafe und die Kerben zueinander in Relation. Jedem Schaf wird eine Kerbe zugeordnet.  
Die Relation besteht hier zwischen den zwei Mengen A (Menge der Schafe) und B (Menge der Kerben). Betrachtet werden also Paare (R ist eine Teilmenge von AxB). Ein Paar besteht dabei jeweils aus einem Element der Definitionsmenge (A) und einem Element der Zielmenge (B). Das ist nun eigentlich nichts Neues. Neu ist nur die Tatsache, daß A und B verschieden sein können. Die Betonung liegt auf können, denn es ist durchaus möglich, daß Definitions- und Zielmenge übereinstimmen.  

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Trotzdem sprechen wir im weiteren von zwei Mengen, da nun die Mengen A und B getrennt voneinander betrachtet werden.  

Eine Darstellungsform, mit der sich die Eigenschaften von Relationen zwischen Mengen einfach darstellen lassen, ist das Pfeildiagramm. Dabei wird üblicherweise die Definitionsmenge links und die Zielmenge rechts eingezeichnet. Man betrachtet dann die Seite, von der die Pfeile ausgehen, und die Seite, bei der die Pfeile enden, gesondert.  

Im Pfeildiagramm ist zu erkennen, daß von jedem Schaf genau ein Pfeil ausgeht und bei jeder Kerbe genau ein Pfeil ankommt - so hätte es der Schäfer jedenfalls gerne.  

Nun sind aber vielleicht einige Schafe unruhig und laufen durcheinander, so daß der Schäfer aus Versehen mehrere Kerben für ein Schaf schnitzt und/oder ein anderes vergißt (wenn er Glück hat, gleicht es sich am Ende wieder aus).  

Es kann auch passieren, daß der Schäfer beim Schnitzen abgelenkt wird. Da sich die Schafe ja sehr ähneln, kann es sein, daß der Schäfer beim falschen Schaf weiterzählt und nicht merkt, daß er ein und dieselbe Kerbe für zwei Schafe gemacht hat. 

Wenn aber nun die schöne Schäferin vorbeikommt, macht der Hirte schon mal gedankenlos mehr Kerben, als er sollte. In dem Holz befindet sich dann eine oder mehrere Kerben, die zu keinem Schaf gehören.  

Bei Relationen zwischen Mengen können also folgende Fälle vorkommen: Von einem Element links geht entweder kein Pfeil, ein Pfeil oder mehr als ein Pfeil aus, entsprechend kommt bei einem Element rechts kein, ein oder mehr als ein Pfeil an. 

Mathematisch wird es allerdings etwas  anders ausgedrückt. Man bezieht sich auf den einfachsten Fall (ein Pfeil)  und unterscheidet Fälle in denen von jedem Element mindestens ein Pfeil oder höchstens ein Pfeil ausgeht . Der besondere Fall, bei dem von einem Element genau ein Pfeil ausgeht, läßt sich dann auch durch das Zusammenfallen der beiden ersten Fälle ausdrücken. Also, genau dann, wenn von einem Element mindestens und höchstens ein Pfeil ausgeht, heißt das, es geht genau ein Pfeil von diesem Element aus. 

Definition Definitionsmenge, Zielmenge 

Sei R eine Relation auf den nicht leeren Mengen A und B (R ist Teilmenge von AxB),   
dann heißt A die Definitionsmenge und B die Zielmenge der Relation. 

Für die Beschreibung einer Relation zwischen Elementen verschiedener Mengen sind verständlicherweise nur  diejenigen Elemente von Interesse, die auch tatsächlich eine Beziehung zu einem anderen Element haben. Es ist daher sinnvoll, diese Elemente aus Definitions- und Zielmenge auszusor-tieren und zusammenzufassen. 

Im Vorbereich der Relation werden alle Elemente der Definitionsmenge zusammengefaßt, die (mindestens) einen Relationspartner in der Zielmenge haben. Dagegen sind im Nachbereich der Relation alle Elemente der Zielmenge enthalten, die (mindestens) einen Relationspartner in der Definitionsmenge haben. Deshalb ist der Vorbereich der Relation eine Teilmenge der Definitionsmenge und der Nachbereich eine Teilmenge der Zielmenge. 



Abbildungen/ Funktionen 

Nach den vielen Fehlern, die dem Schäfer anfangs unterlaufen sind, ist er schlauer geworden. Er treibt seine Schafe nun einzeln durch ein enges Tor und schafft eine schäferinnenfreie Zone. So gelingt ihm die korrekte Zählung, das heißt jedem Schaf wird genau eine Kerbe zugeordnet. 

Relationen dieser Art nennt man Abbildungen oder Funktionen. 

Definition Abbildung 

Eine Relation f (Teilmenge von AxB), bei der jedem Element der Menge A genau ein Element der Menge B zugeordnet wird, heißt Abbildung oder Funktion

Diese Definition beinhaltet zwei Eigenschaften, die Relationen zwischen zwei Mengen haben müssen, damit man sie als Abbildung bezeichnen kann:

(1) Jedem Element der Menge A wird mindestens ein Element der Menge B zugeordnet. Das heißt von jedem Element der Menge A gehen ein oder mehrere Pfeile aus. Das heißt die Elemente der linken Menge (Definitionsmenge) werden "total" (ganz) gebraucht. Man sagt, die Relation ist
linkstotal (linksvollständig).

(2) Jedem Element der Menge A wird höchstens ein Element der Menge B zugeordnet. Das heißt von jedem Element der Menge A geht ein oder kein Pfeil aus - jede Zuordnung ist eindeutig. Das heißt wenn die Elemente der Zielmenge in der rechten Menge einen Partner haben, dann ist dieser eindeutig (d.h. dann haben sie nur einen Partner). Man sagt, die Relation ist
rechtseindeutig.